Placement de pôles par la méthode de Kessler

Le coefficient, introduit par Kessler lie donc la constante de temps du régulateur à celle du système par une relation de proportionnalité $T_1=a\sigma$. Il s'ensuit que l'avance de phase maximale $\Delta\varphi_{max}$ pour $\omega_{co}$ est telle que définie au chapitre 5.1.3 par la relation 5.11 et $\omega_{co}=\frac{1}{\sqrt{a}\sigma}$ ainsi que $\frac{T_1}{T_2}=\frac{T_m}{A0\sigma\sqrt{a}}$. La fonction de transfert en boucle fermée présente donc l'équation caractéristique de la forme:

$\left(1+\frac{s}{\omega_{co}}\right)\left[1+(\sqrt{a}-1)\frac{s}{\omega_{co}}+\left(\frac{s}{\omega_{co}}\right)^2\right]=0$

Elle comprend trois pôles réels si $9<a<25$ et deux pôles complexes et un réel si a est extéríeur à cet intervalle. En fait, les valeurs usuelles de a sont inférieures à 25 et seule la limite $a=9$ a un intérêt. Pour fixer la valeur optimale de $a$, on compare les performances du système pour des valeurs comprises entre 2 et 9. Les critères choisis sont l'avance de phase, le temps de premier pic et le dépassement en boucle fermée. Le temps de premier pic $t_{pic}$ et le dépassement d sont définis par:

$t_{pic}=\frac{\pi}{\omega_{co}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right)}}$

et $d=\exp{\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}$

Si l'on augmente $a$, $\Delta\varphi_{max}$ augmente et le dépassement diminue mais au détriment de $t_{pic}$ qui croît avec l'amortissement directement proportionnel à $\Delta\varphi_{max}$ en première approximation. On serait tenté de diminuer $a$ pour gagner en rapidité mais alors le dépassement croît très rapidement et atteint $67\%$ pour la valeur $a=2$. En fait, ce dépassement est très lié au zéro de la fonction de transfert du régulateur et on peut chercher à le compenser exactement par un correcteur sur la référence (figure 5.14.a) ou par une structure intégrale-proportionnelle du régulateur en deux boucles qui éliminent le numérateur de la fonction de transfert du système en boucle fermée en lui gardant la même équation caractéristique donc les mêmes pôles comme représenté sur la figure 5.14.b.

Figure 5.14: Schéma bloc de la compensation du régulateur.

La valeur optimum, au sens de Kessler, est $a=4$ ce qui fournit une phase de 37°, un $t_{pic}=5.8T_2$ et un dépassement de $43.3\%$. Avec une compensation exacte, le dépassement s'abaisse à $8\%$ mais $t_{pic}=9.8T_2$ (cf [33]). Pour notre exemple, nous allons définir $\omega_{co}=1200 rad/s$ d'où $a\simeq3.7$, on a alors $T_1=1.6\times10^{-3}$ et $T_2=0.04432$. La réponse de ce système, en régime transitoire et sans compensation du zéro, est représentée sur la figure 5.15.

Figure 5.15: Réponse en régime transitoire

On constate qu'il y a un dépassement prévu valant environ $19.5\%$.