Régulateur proportionnel-intégral

Le régulateur $R_1$ du schéma bloc 5.2 est alors:

$R_1=\frac{T_1s+1}{T_2s}$

Si l'on réalise une compensation exacte du pôle électrique (voir [23]), on a $T_1=T_m$ d'où la fonction de transfert en boucle ouverte:

$Fo_{(s)}=\frac{A0}{T_2s}$

La fonction de transfert en boucle fermée est donc:

$F_{(s)}=\frac{A0}{T_2s+A0}$

Qui est une fonction de transfert du $1^{er}$ ordre dont le gain est:


\begin{displaymath}
\mid F_{(j\omega)}\mid=\frac{A0}{\sqrt{(T_2\omega)^2+A0^2}}
\end{displaymath} (5.17)

et la phase:


\begin{displaymath}
Arg(F_{(j\omega)})=\arctan{0}-\arctan{\frac{T_2\omega}{A0}}
\end{displaymath} (5.18)

Si l'on définit un temps de réponse à 5% noté $t_r$,


\begin{displaymath}
T_2\simeq\frac{A0t_r}{3}
\end{displaymath} (5.19)

De la $3^{\grave{e}me}$ condition et en substituant 5.19 dans 5.17 , on en déduit qu'il faut


\begin{displaymath}
t_r>\frac{\sqrt{(\frac{1}{x^2}-1)*9}}{\omega_d}
\end{displaymath} (5.20)

$x$ étant le gain minimal désiré à la pulsation $\omega_d$. Dans notre cas, cela implique que l'on a $t_r>1.6 ms$. La $2^{\grave{e}me}$ condition étant plus contraignante que la $1^{\grave{e}re}$, on a également, en substituant 5.19 dans 5.18 :


\begin{displaymath}
t_r<\frac{3\tan{(\pi/18)}}{\omega_M}
\end{displaymath} (5.21)

Cela implique alors que $t_r<0.25 ms$.

Cela traduit donc l'incompatibilité des deux conditions dans notre exemple; il faut donc modifier le choix soit de la pulsation maximum $\omega_M$, soit du déphasage $\varphi$ soit la fréquence d'échantillonnage de la M.L.I. Si l'on décide de conserver le déphasage et la pulsation $\omega_M$, il faut alors que:


\begin{displaymath}
\omega_d>\frac{\sqrt{(\frac{1}{x^2}-1)}}{\tan{\pi/18}\times\omega_M}
\end{displaymath} (5.22)

A titre d'exemple, pour avoir $\omega_M=1200 rad/s$ soit, pour le moteur, une vitesse angulaire mécanique de $\Omega=200 rad/s$, il faudrait une fréquence de fonctionnement de la M.L.I de $f_d=12 kH_z$ et le temps de réponse minimum serait de $t_r=2.5 ms$. Une condition importante que l'on a négligée jusque là est le temps de réponse minimum du système alimentation-moteur. En effet, l'alimentation étant saturée à $Vq_{max}$, il existe un temps minimum à respecter pour atteindre la valeur maximum du courant désirée $Iq_{max}$. Ce temps, noté $t_s$, est donné par la relation suivante:


\begin{displaymath}
t_s=-T_m\ln{\left(1-\frac{Iq_{max}R}{Vq_{max}}\right)}
\end{displaymath} (5.23)

On va donc considérer un temps de réponse supérieur à deux fois le temps $t_s$ afin de se rapprocher de la pente minimale à respecter soit, dans notre exemple, $t_r=2.6 ms$ d'où $T2=0.18135$. La réponse en courant est représentée sur la figure 5.11.

Figure 5.11: Réponse en régime transitoire
\includegraphics[angle=0,width=7cm,height=7cm]{rep16.eps}

Par contre, la condition sur le déphasage minimum souhaité n'est pas respectée. On se rend compte que l'on ne peut pas concilier les objectifs avec ce type de moteur ou cette fréquence de modulation. Il faut donc, comme toujours, définir un compromis entre les critères de performances désirés et le système. Il apparaît également un bruit sur la mesure du courant dû à la modulation de la M.L.I. On va donc insérer un filtre du premier ordre dans la boucle de mesure comme il est suggéré dans [33].

Ce filtre, noté H, est donc de la forme:

$H=\frac{1}{\frac{1}{\omega_h}s+1}$

avec $\omega_d\ggg\omega_h>4\times\omega_M$, d'où, pour notre exemple, $\omega_h=5000 rad/s$. La réponse est représentée sur la figure 5.12.

Figure 5.12: Réponse en régime transitoire
\includegraphics[angle=0,width=7cm,height=7cm]{rep15.eps}

Une méthode de réglage du régulateur proportionnel-intégral souvent utilisé dans la littérature est le placement de pôles par la méthode de l'optimum symétrique ou par la méthode de Kessler. On va considérer successivement, ces deux méthodes.



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guillaume 2008-11-17