Placement de pôles par la méthode de l'optimum symétrique

Si l'on reprend la structure décrite précédemment avec un régulateur du type proportionnel-intégral et si l'on insère une fonction de transfert du premier ordre représentant la dynamique de l'alimentation, on obtient le schéma bloc de la figure 5.2 page . $\sigma$ est le temps de réponse à $5\%$ de l'onduleur, soit $\sigma\simeq\frac{t_s}{3}$ qui est une spécification souvent utilisée en aéronautique. Si l'on considère maintenant que la constante de temps $T_m$ est très supérieure à $\sigma$ alors la fonction de transfert, en boucle ouverte, peut être approximée à

$Fo_{(s)}=\frac{1+T_1s}{T_2s}\times\frac{A0}{T_ms(1+\sigma s)}=\frac{K_c(s+Z_c)}{s}\times\frac{A0}{T_ms(1+\sigma s)}$

avec $Z_c=\frac{1}{T_1}$ et $K_c=\frac{T_1}{T_2}$

Pour avoir en boucle fermée,une fonction de transfert de la forme:

$F_{(s)}\simeq\frac{1}{1+T_{\Omega}}$

Il est nécéssaire que $Z_c=\frac{\sigma}{T_{\Omega}^2}$ et $K_c=\frac{T_m}{A0T_{\Omega}}$ (cf [23]). On en déduit donc $T_1=\frac{T_{\Omega}^2}{\sigma}$ et $T_2=\frac{A0T_{\Omega}^3}{T_m\sigma}$. Si, pour notre exemple, on désire un temps de réponse de 3 ms à 5%, il faut $T_{\Omega}=\frac{3\times10^{-3}}{3}=1 ms$; on a donc $T_1=2.3077\times10^{-3}e-3$ et $T_2=0.0767$ et la réponse est donnée sur la figure 5.13.

Figure 5.13: Réponse en régime transitoire

On constate donc un dépassement qui est dû au choix du facteur liant les constantes de temps $T_1$ et $\sigma$. En effet, l'équation caractéristique de la fonction de transfert du système en boucle fermée, est de la forme:

$\acute{e}q.carac.=\frac{T_2T_m\sigma}{A0K_i}s^3+\frac{T_2T_m}{A0K_i}s^2+T_1s+1$

Cette équation étant du $3^{\grave{e}me}$ ordre, il n'est pas possible de fixer arbitrairement les deux seuls paramètres $T_1$ et $T_2$ du régulateur. Pour les déterminer, on applique la règle classique de l'avance de phase maximale pour la pulsation de coupure $\omega_{co}$. Pour un sytème optimisé, la pulsation de coupure est le milieu géométrique de $\frac{1}{\sigma}$ et $\frac{1}{T_1}$. Pour déterminer cet optimum, Kessler introduit un coefficient $a$ appelé coefficient d'avance de phase tel que $a=\frac{T_1}{\sigma}$ qu'il utilise comme paramètre d'étude.