Placement de pôles du régulateur intégral-avance de phase

En reprenant les fonctions de transfert décrites au chapitre 5.1.2 et 5.1.3, la fonction de transfert en boucle ouverte $Fo_{(s)}$ s'écrit:

$Fo_{(s)}=\frac{K_i}{s}\times\frac{A0}{1+T_ms}\times\frac{1+a\tau s}{1+\tau s}$

d'où la fonction de transfert en boucle fermée $F_{(s)}$:

$F_{(s)}=\frac{K_iA0(1+a\tau s)}{s(1+T_ms)(1+\tau s)+K_iA0(1+a\tau s)}$

On a donc un zéro qui vaut $-\frac{1}{a\tau}$ et l'on a également une équation caractéristique du $3^{\grave{e}me}$ ordre de la forme:

$\acute{e}q.caract.=s^3+\frac{T_m+\tau}{T_m\tau}s^2+\frac{1+aK_iA0\tau}{T_m\tau}s+\frac{K_iA0}{T_m\tau}$

On souhaite obtenir une équation caractéristique de la forme

$\acute{e}q.d\acute{e}sir\acute{e}e=(s^2+2\zeta\omega_0s+\omega_0^2)(s+\alpha\omega_0)$

Par identification de l'équation caractéristique désirée et celle du système,

$$\alpha=\frac{\frac{1}{T_m\omega_0}-2\zeta}{1-\frac{\omega_0^2T_m}{K_iA0}}$$ (5.12)

et

$$\tau=\frac{K_iA0}{T_m\omega_0^3\alpha}$$ (5.13)

ainsi que

$$a=\frac{\omega_0^2T_m\tau(2\zeta\alpha+1)-1}{K_iA0\tau}$$ (5.14)

Si l'on fixe $\omega_0=2100 rad/s$ et $\zeta=1$ pour respecter les conditions décrites au chapitre 5.1, alors pour n'avoir que des pôles stables, il faut $\alpha>0$. Le dénominateur de 5.12 doit donc être négatif. On en déduit alors la condition sur $K_i$, à savoir:

$$K_i<\frac{\omega_0^2T_m}{A0}$$ (5.15)

Dans notre exemple, $K_i<132.7$ et il faut que $\alpha$ soit suffisament faible pour repousser le $3^{\grave{e}me}$ pôle afin de le rendre négligeable vis-à-vis de la dynamique du système. Prenons $\alpha=0.1$, on déduit alors de 5.12,

$$K_i=\frac{\omega_0^2T_m}{A0[(\alpha+2)-\frac{1}{T_m\omega_0}]}$$ (5.16)

d'où $K_i\simeq6.5551$, de 5.13 $\tau\simeq2.35\times10^{-4}$ et de 5.14 $a\simeq21.2$. La réponse, en régime transitoire, présente un léger dépassement d'environ 1.4% représenté sur la figure 5.9 mais les conditions sur $\omega_M$ ne sont pas respectées comme indiquées sur le diagramme de Bode 5.10. En effet, le gain à la fréquence de coupure $\omega_M$ et le déphasage ne sont pas respectés.

Figure 5.9: Réponse en régime transitoire

Figure 5.10: Diagramme de Bode de $F_{(j\omega )}$

On va donc remplacer le correcteur et le régulateur par un régulateur proportionnel-intégral permettant d'améliorer la dynamique du système par action proportionnelle tout en n'ayant pas d'erreur statique par l'intermédiaire de l'action intégrale.