Equations des tensions, des flux et du couple

Le système d'équations de tension de la machine synchrone est obtenu par l'application de la relation fondamentale aux différents circuits:


\begin{displaymath}
u_a=R_si_a+\frac{d\psi_a}{dt}
\end{displaymath} (1.34)


\begin{displaymath}
u_b=R_si_b+\frac{d\psi_b}{dt}
\end{displaymath} (1.35)


\begin{displaymath}
u_c=R_si_c+\frac{d\psi_c}{dt}
\end{displaymath} (1.36)

ou, sous forme matricielle:


\begin{displaymath}[u_{abc}]=[R_S][i_{abc}]+\left[\frac{d\psi_{abc}}{dt}\right]
\end{displaymath} (1.37)

et pour le rotor:


\begin{displaymath}
u_f=R_fi_f+\frac{d\psi_f}{dt}
\end{displaymath} (1.38)

Les flux totalisés $\psi$ s'expriment sous forme matricielle comme:


\begin{displaymath}[\psi_{abc}]=[L_s][i_{abc}]+[L_{sr}]i_f
\end{displaymath} (1.39)


\begin{displaymath}[\psi_f]=[L_{sr}]'[i_{abc}]+L_fi_f
\end{displaymath} (1.40)

avec:


\begin{displaymath}[R_S]=
\left[
\begin{array}{ccc}
R_s & 0 & 0\\
0 & R_s & 0\\
0 & 0 & R_s\\
\end{array}\right]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}[L_s]=
\left[
\begin{array}{ccc}
L_{aa}(\theta) & L_{ab}(\the...
...theta) & L_{cb}(\theta) & L_{cc}(\theta)\\
\end{array}\right]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}[L_sr]=
\left[
\begin{array}{c}
L_{af}(\theta)\\
L_{bf}(\theta)\\
L_{cf}(\theta)\\
\end{array}\right]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}[L_sr]'=
\left[
\begin{array}{ccc}
L_{af}(\theta)&
L_{bf}(\theta)&
L_{cf}(\theta)
\end{array}\right]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}[\psi_{abc}]=
\left[
\begin{array}{c}
\psi_a\\
\psi_b\\
\psi_c\\
\end{array}\right]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}[i_{abc}]=
\left[
\begin{array}{c}
i_a\\
i_b\\
i_c\\
\end{array}\right]
\end{displaymath}


\begin{displaymath}[u_{abc}]=
\left[
\begin{array}{c}
u_a\\
u_b\\
u_c\\
\end{array}\right]
\end{displaymath}

Si l'on considère un système d'alimentation triphasé défini comme:


\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{c}
u_a=\sqrt{2}V_s\cos{(\omega_et)}\\...
...os{(\omega_et-\varphi+\frac{2\pi}{3})}\\
\end{array}\right \}
\end{displaymath} (1.41)

La puissance instantannée est donnée par :


\begin{displaymath}
p_{(t)}=u_ai_a+u_bi_b+u_ci_c+u_fi_f
\end{displaymath} (1.42)

qui se réécrit de manière plus générale, avec $I_{(t)}=i_{abc}$:
\begin{displaymath}
p_{(t)}=U_{(t)}I_{(t)}=\left(RI_{(t)}+\frac{d\Psi}{dt}\right...
...}=RI_{(t)}^2+LI_{(t)}\frac{dI{(t)}}{dt}+I_{(t)}^2\frac{dL}{dt}
\end{displaymath} (1.43)

On reconnaît successivement l'énergie perdue par effet joule, la variation d'énergie électromagnétique par transformation et celle dûe à la déformation du circuit magnétique. Une partie de cette puissance est donc utilisée pour la génération du couple électromagnétique. Si on néglige les pertes joules ainsi que les pertes fer, on a:


\begin{displaymath}
T_e\Omega=p_{(t)}
\end{displaymath} (1.44)

A la vitesse de synchronisme, on a $\theta=\omega_mt-\beta$, d'où:


\begin{displaymath}
T_e=p\left(\frac{d\Psi_{abc}}{d\theta}i_{abc}+\frac{d\Psi_f}...
...-\beta))}+\frac{3}{2}p\hat{I}L_f\hat{I}_f\sin{(\varphi-\beta)}
\end{displaymath} (1.45)

Si le référentiel n'est plus celui des flux mais celui des tensions alors \(\beta=\delta-\frac{\pi}{2}\) et si l'on substitue par la relation 1.21 on obtient:


\begin{displaymath}
T_e=\frac{3}{2}p\hat{I}L_f\hat{I}_f\cos{(\varphi-\delta)}-\frac{9}{4}p\hat{I}^2L_{h2}\sin{(2(\varphi-\delta))}
\end{displaymath} (1.46)

Dans le cas d'une machine à pôles lisses, $L_{h2}=0$ d'où la valeur du couple:


\begin{displaymath}
T_e=\frac{3}{2}p\hat{I}L_f\hat{I}_f\cos{(\varphi-\delta)}
\end{displaymath} (1.47)

Le système d'équations formé par les relations de 1.34 à 1.40 n'est pas linéaire du fait des inductances variables en fonction de $\theta$ et ne se prête pas à une étude analytique des phénomènes dont la machine synchrone est le siège. La résolution numérique de ce système est possible mais peu commode à cause des coefficients variables des matrices d'inductances. Cependant, dans certains fonctionnements comme le redressement, ce système présente l'avantage de fournir directement les grandeurs électriques de phase. En effet, les grandeurs exploitées dans ce type de fonctionnement sont ainsi accessibles car la machine fonctionne en alternateur et fournit alors une énergie selon les différentes phases.

C'est ce type de système que nous utilisons sous SABER sous forme d'un fichier de programmation en MAST qui est fourni en annexe B. Ce système est également transposable sous MATLAB-SIMULINK [27]. Nous constatons, sur ce fichier, une décomposition en série de fourrier des forces contre-électromotrices notées $e_1 e_2 et e_3$ qui permet, suivant l'affectation des divers coefficients, d'obtenir une distribution trapézoïdale ou sinusoïdale. Dans notre étude, nous ne considèrerons que les machines à f.e.m sinusoïdale.

guillaume 2008-11-17