Régulation de vitesse par retour d'état non linéaire

Nous procédons en deux étapes à savoir:

• découplage et linéarisation du système;
• placement de pôles par retour d'état.

Pour la première étape, il faut considérer les équations non linéaires qui décrivent le comportement du moteur et qui sont les suivantes:

$$\dot{i_d}=-\frac{R_s}{L_d}i_d+\frac{L_q}{L_d}p\Omega i_q+\frac{u_d}{L_d}$$ (5.24)

$$\dot{i_q}=\frac{-R_s}{L_q}i_q-\frac{L_d}{L_q}p\Omega i_d-\frac{K_t\Omega}{L_q}+\frac{u_q}{L_q}$$ (5.25)

$$\dot{\Omega}=\frac{T_e}{J}-\frac{K_d}{J}\Omega-\frac{T_c}{J}$$ (5.26)

$$T_e=p[(L_d-L_q)i_d+K_e]i_q$$ (5.27)

$K_t=pK_e=p\sqrt{\frac{3}{2}} K_a$

Les signaux à réguler sont $i_d=0$ et $\Omega$ avec les signaux de commandes $u_d$ et $u_q$. La représentation d'état prend donc la forme suivante:

$$\left[\begin{array}{c} \dot{i_d}\\ \ddot{\Omega} \end{array... ...(i_d,i_q) \left[\begin{array}{c} u_d\\ u_q \end{array}\right]$$ (5.28)

avec $\ddot{\Omega}=\frac{\dot{T_e}}{J}-\frac{K_d\dot{\Omega}}{J}$ et $\dot{T_e}=pK_e\dot{i_q}+p(L_d-L_q)(\dot{i_d}i_q+i_d\dot{i_q})$ Ce qui nous permet de définir: $f_1(i_d,i_q,\Omega)=-\frac{R_s}{L_d}i_d+\frac{L_q}{L_d}p\Omega i_q$ $f_2(i_d,i_q,\Omega)=\left[ -\frac{pR_s(L_d^2-L_q^2)}{JL_dL_q}-\frac{K_dn(L_d-L_q)}{J^2}\right]i_di_q -\frac{K_t}{J}\left(\frac{K_d}{J}+\frac{R_s}{L_q}\right)i_q$ $+\left[\frac{p^2(L-d-L_q)(L_q^2i_q^2-L_d^2i_d^2)}{JL_dL_q}\right]\Omega -\left[... ...}{JL_q}\right]i_d\Omega+\left(\frac{K_d^2}{J^2}-\frac{K_t^2}{JL_q}\right)\Omega$ ainsi que

$A(i_d,i_q)=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{L_q}&0\\ \frac{p(L_d-L_q)i_q}{JL_d}&\frac{p(L_d-L_q)i_d+Kt}{JL_q} \end{array}\right]$ qui est une matrice non singulière si $i_d\neq\frac{-K_e}{L_d-L_q}$. Le courant $i_d$ ne doit pas atteindre la valeur du courant de désexcitation qui provoque l'annulation du couple électromagnétique. La loi de commande non linéaire, issue de la relation 5.28, permet de linéariser et de découpler le système. Cette loi de commande est équivalente à:

$$\left[\begin{array}{c} u_d\\ u_q \end{array}\right]= A^{-1}... ...]+ \left[\begin{array}{c} v_1\\ v_2 \end{array}\right]\right]$$ (5.29)

Cette loi de commande associée au modèle d'état du moteur 5.28, comme représenté sur la figure 5.23 engendre alors les relations d'égalités suivantes:

$v_1=\dot{i_d}$ $v_2=\ddot{\Omega}$ égalements représentées sur la figure 5.23

Figure 5.23: Linéarisation et découplage du modèle d'état non linéaire du moteur.

avec

$A^{-1}(i_d,i_q)=\left[\begin{array}{cc} L_q&0\\ \frac{-(L_d-L_q)i_qL_q}{i_d(L_d-L_q)+K_e}&\frac{JL_q}{pi_d(L_d-L_q)+K_t} \end{array}\right]$

Dans la seconde étape, nous appliquons un régulateur proportionnel-dérivé au système linéarisé. Les relations sont les suivantes:

$$\left[\begin{array}{c} v_1\\ v_2 \end{array}\right]= \left[... ...dot{\Omega})+k_{22}(\Omega_{ref}(t)-\Omega) \end{array}\right]$$ (5.30)

Ce qui permet de définir les polynômes caractéristiques, avec les erreurs en sorties $e_1=i_d-i_{dref}(t)$ et $e_2=\Omega-\Omega_{ref}(t)$. En appliquant la transformée de Laplace:

$$e_1(s+k_{11})=0$$ (5.31)

$$e_2(s^2+k_{21}s+k_{22})=0$$ (5.32)

Les pôles du polynôme caractéristique sont choisis stables et les valeurs finales tendent, lorsque $t\rightarrow\infty$, vers les valeurs de référence. Pour le courant $i_d$, le pôle est plaçé à -800. Concernant la vitesse, le choix du coefficient d'amortissement est $\zeta=1$ et les pôles sont fixés à -10. La réponse de ce système, à vide, est donnée sur la figure 5.24. Il n'y a donc pas de dépassement sur la consigne de vitesse mais il y en a un sur les courants.

Figure 5.24: Réponse en vitesse à vide.

Lorsque l'on applique une charge à ce système, on observe une erreur sur la consigne de vitesse. En effet, l'équation 5.32 est alors:

$$e_2(s^2+k_{21}s+k_{22})=\frac{(K_d-k_{21}J)T_c}{J^2}$$ (5.33)

Une erreur statique dûe au couple de charge apparait clairement. Afin d'éliminer cette erreur, nous ajoutons un intégrateur soit: $k_{12}\int_0^t(i_{dref}(t)-i_d)dt$ $k_{23}\int_0^t(\Omega_{ref}(t)-\Omega)dt$

La structure ainsi définie et représentée sur la figure 5.25 est celle d'un P.I.D.

Figure 5.25: Contrôleur PID appliqué au système linéarisé et découplé.

Les polynômes caractéristiques deviennent alors:

$$e_1(s^2+k_{11}s+k_{12})=0$$ (5.34)

$$e_2(s^3+k_{21}s^2+k_{22}s+k_{23})=0$$ (5.35)

Le pôle, pour le courant $i_d$, est plaçé à -1582 ce qui correspond à un temps de réponse de 3ms à 5%. Pour la vitesse, le polynôme caractéristique est séparé en un polynôme du second degré et un du premier degré soit: $(s+a)(s^2+bs+c)$

Les valeurs des gains sont définis par identification, soit:

$k_{21}=a+b$ $k_{22}=ab+c$ $k_{23}=ac$

Le mode le plus lent définit le temps de réponse de la vitesse tandis que le plus rapide définit le temps de réponse du courant $i_q$. Si le pôle concernant la vitesse est plaçé à -3.75 (temps de réponse de 0.8 s à 5%) et que le pôle double du courant $i_q$ est plaçé à -160 (temps de réponse de 30 ms et $\zeta=1$) alors la réponse à une consigne de vitesse $(\Omega=200 rad/s)$ et à vide est représentée sur la figure 5.26. Un agrandissement est effectué sur le courant $i_q$ et représenté sur la figure 5.27 qui confirme les temps de réponse.

Figure 5.26: Réponse en vitesse à vide.

Figure 5.27: Réponse du courant dans l'axe transversal.

La même consigne de vitesse mais avec un couple résistant $T_c=10 Nm$ est appliquée. La réponse est donnée sur la figure 5.28 sur laquelle il n'y a plus d'erreur statique dûe à la charge. Par contre, on constate une amplitude trop importante du courant qu'il faut limiter.

Figure 5.28: Réponse en vitesse avec un couple de charge $T_c=10 Nm$.

La limitation en courant est réalisée en modifiant l'accélération (acc) appliquée à la consigne de vitesse. L'accélération est la dérivée première de la vitesse. Des équations 5.26 et 5.27 avec $i_d=0$ on tire:

$$acc=\dot{\Omega}=\frac{K_ti_{qmax}-K_d\Omega-T_c}{J}$$ (5.36)

La réponse d'un tel système à vide et en charge est donnée respectivement sur les figures 5.29 et 5.30.

Figure 5.29: Réponse en vitesse à vide.

Figure 5.30: Réponse en vitesse avec un couple de charge $T_c=10 Nm$.

Ces simulations ont été réalisées avec un modéle simplifié de l'onduleur à savoir un gain statique suivi d'une limitation en tension. Les simulations, représentées sur les figures 5.31, 5.32, 5.33 et 5.34, ont été effectuées avec le modèle complet de l'onduleur, abstraction faite des temps morts, et donnent respectivement les réponses à vide et en charge du système, sans et avec limitation de courant. Une compensation exacte du numérateur est introduite sur la référence et est possible puisque le numérateur ne dépend que des gains définis précédemment.

Figure 5.31: Réponse en vitesse à vide sans limitation de courant.

Figure 5.32: Réponse en vitesse avec un couple de charge $T_c=10 Nm$ sans limitation de courant.

Figure 5.33: Réponse en vitesse à vide avec limitation en courant.

Figure 5.34: Réponse en vitesse avec un couple de charge $T_c=10 Nm$ avec limitation en courant.

La limitation en courant introduit alors un retard sur le temps de réponse. Les simulations, quasiment identiques pour des conditions de fonctionnement semblables, réalisées avec le modèle complet de l'onduleur sont alors beaucoup plus longues, car les modèles sont plus complexes que les simulations effectuées avec un modèle de l'onduleur simplifié.