Régulateur intégral

Le régulateur $R1_{(s)}$ prends alors la forme $R1_{(s)} = \frac{K_i}{s}$.
En boucle ouverte, le système est d'ordre 2 et vaut

$Fo_{(s)} = \frac{K_iA0}{s\times (1+T_ms)}$

En boucle fermée, on obtient alors:

$F_{(s)} = \frac{K_iA0}{s(1+T_ms)+K_iA0} = \frac{\frac{K_i A0}{T_m}}{s^{2}+\frac{1}{T_m}s+\frac{K_iA0}{T_m}}$

La pulsation propre du système ($\omega_n$) vaut alors

$$\omega_n = \sqrt{\frac{K_iA0}{T_m}}$$ (5.5)

et le coefficient d'amortissement $\zeta$ est

$$\zeta = \frac{1}{2\times \omega_n\times T_m}$$ (5.6)

Les conditions nous donnent alors:

1. On a $\mid F_{(j\omega_M)}\mid>0.9$ avec

   
   

   $$\mid F_{(j\omega_M)}\mid = \frac{\frac{KiA0}{T_m}}{\sqrt{\le... ...0}{T_m}-\omega_M^{2}\right)^{2}+\frac{\omega_M^{2}}{T_m^{2}}}}$$ (5.7)

   
   

2. On a $Arg(F_{(j\omega_M)})>-10 ^\circ$ avec

   
   

   $$Arg(F_{(j\omega_M)}) = \arctan(0)-\arctan\left(\frac{\frac{\omega_M}{T_m}}{\frac{-T_m\omega_M^{2}+KiA0}{T_m}}\right)$$ (5.8)

   
   
   d'où
   

   $$K_i>\frac{\omega_M(1+T_m\omega_M\tan(10 ^\circ))}{A0\tan(10 ^\circ)}$$ (5.9)

   
   

3. On a $\mid F_{(j\omega_d)}\mid<0.1$ avec

   
   

   $$\mid F_{(j\omega_d)}\mid = \frac{\frac{KiA0}{T_m}}{\sqrt{\le... ...0}{T_m}-\omega_d^{2}\right)^{2}+\frac{\omega_d^{2}}{T_m^{2}}}}$$ (5.10)

   
   

Dans notre exemple, nous avons donc:

1. $K_i>63.2$
2. $K_i>189.62$
3. $K_i<972$

Il existe donc une solution pour $189.62<K_i<972$. Nous donnons la réponse de notre système pour $k_i=189.62$ lors d'un régime transitoire (cf.figure 5.4.a) et permanent (cf.figure 5.4.b).

Figure 5.4: Réponse en régime permanent et transitoire.

a) Régime transitoire.	b) Régime permanent.

On constate, en régime permanent, une ondulation sur la réponse dûe à la fréquence propre ($\omega_n$) du système en boucle fermée définie par la relation 5.1.2 et qui vaut, pour notre exemple et pour $K_i=189.62$, $W_n=2510.3 rad/s$ d'où une fréquence $f_n\simeq400 H_z$. En régime transitoire, on constate que l'on obtient une réponse oscillante faiblement amortie qui est dûe à un coefficient d'amortissement ($\zeta$) trop faible. En effet, d'après 5.1.2, on a $\zeta=0.0316$ pour la même valeur de $K_i$. On diminue $\zeta$ en augmentant $K_i$ (pour $K_i=972$, $\zeta=0.014$) mais on augmente également $W_n$ (pour $K_i=972$, $W_n=5683.5$). Le problème, d'une manière plus générale, est que ce système, en boucle ouverte, possède une marge de phase trop faible ( $m\varphi\simeq4^\circ$) comme indiqué sur le diagramme de Bode 5.5 à la pulsation de coupure $W_c$. Ainsi, les conditions de performance du système asservi ne peuvent être assurées sans compromettre la stabilité de ce dernier. Une solution consiste à augmenter la marge de phase du système asservi en rajoutant un correcteur à avance de phase.

Figure 5.5: Diagramme de Bode de $Fo_{(j\omega )}$(- -) et $F_{(j\omega )}$(-) pour $K_i=189.62$