Régime permanent

Si l'on considère un système d'alimentation triphasé défini comme:

$$u_a=\sqrt{2}V_s\cos{(\omega_et)}$$

$$u_b=\sqrt{2}V_s\cos{(\omega_et-\frac{2\pi}{3})}$$

$$u_c=\sqrt{2}V_s\cos{(\omega_et+\frac{2\pi}{3})}$$

$$i_a=\sqrt{2}I_s\cos{(\omega_et-\varphi)}$$

$$i_b=\sqrt{2}I_s\cos{(\omega_et-\varphi-\frac{2\pi}{3})}$$

$$i_c=\sqrt{2}I_s\cos{(\omega_et-\varphi+\frac{2\pi}{3})}$$

après transformation dans les axes d-q, on obtient:

$$u_d=\sqrt{3}V_s\cos{(\omega_et-\theta)}$$ (1.109)

$$u_q=\sqrt{3}V_s\sin{(\omega_et-\theta)}$$ (1.110)

$$i_d=\sqrt{3}I_s\cos{(\omega_et-\varphi-\theta)}$$ (1.111)

$$i_q=\sqrt{3}I_s\sin{(\omega_et-\varphi-\theta)}$$ (1.112)

Si , ce qui exprime la synchronisation de la fréquence d'alimentation et de la vitesse du rotor avec un retard dû à une charge et alors les relations précédentes deviennent:

$$u_d=-\sqrt{3}V_s\sin{(\delta)}$$ (1.113)

$$u_q=\sqrt{3}V_s\cos{(\delta)}$$ (1.114)

$$i_d=\sqrt{3}I_s\sin{(\Psi)}$$ (1.115)

$$i_q=\sqrt{3}I_s\cos{(\Psi)}$$ (1.116)

Ce résultat s'explique facilement à partir de la théorie du champ tournant. Pour un observateur lié au rotor, le champ tournant statorique apparaît fixe et l'application de la transformation d-q revient à décomposer ce champ selon les 2 axes du rotor. Ces deux composantes résultent de la circulation de courants continus $i_d$ et $i_q$ dans les enroulements statoriques transformés calés sur les axes direct et transversal. Les flux totalisés $\Psi_d$ et $\Psi_q$ étant constants, les relations 1.80 et 1.81 deviennent:

$$u_d=R_si_d-\omega_mL_qi_q=R_si_d-X_qi_q$$ (1.117)

$$u_q=R_si_q+\omega_mL_di_d+\sqrt{\frac{3}{2}}\phi_a\omega_m=R_si_q+X_di_d+V_f$$ (1.118)

$X_d$ représente la réactance synchrone longitudinale, $X_q$ la réactance synchrone transversale et $V_f$ la tension induite dans les phases statoriques à circuit ouvert ($i_d=i_q=0$) en l'absence de saturation par le flux correspondant au courant d'excitation $i_f$ au régime considéré; $V_f$ est également appelée tension induite synchrone.

Si l'on considère la machine en convention récepteur, on obtient alors le diagramme vectoriel suivant:

Figure 1.27: Diagramme de tensions d'une machine synchrone à pôles saillants.

On a:

$$V_s=\sqrt{u_d^2+u_q^2}$$ (1.119)

où, en termes de phaseurs $\vec V_s=\vec u_d+j\vec u_q$ avec $\vec V_f=jV_f$

alors,

$$\vec V_s=\vec V_f+R_s\vec I_s+jX_d\vec i_d+jX_q\vec i_q$$ (1.120)

L'angle $\Psi$ orienté de $I_s$ vers $V_f$ est appelé angle de déphasage interne.

Le déphasage $\varphi$ entre $V_s$ et $I_s$ du diagramme précédent définit le facteur de puissance de la machine pour le cas de fonctionnement considéré.

L'angle entre $V_s$ et $V_f$ représente l'angle de charge $\delta$. Il est orienté de $V_s$ vers $V_f$ et, de même que pour $\varphi$ et $\Psi$, il est compté positif dans le sens trigonométrique.

Rappelons la signification physique de cet angle.

• Lorsque la machine couplée au réseau, fonctionne à vide ($I_s=0$), la tension synchrone $V_f$ coïncide avec la tension $V_s$ du réseau. L'axe d décalé de $\frac{\pi}{2}$ en arrière par rapport à $V_f$ définit la position d'un pôle Nord de l'inducteur.
• En charge, la tension $V_f$ se déplace par rapport à $V_s$ d'un angle $\delta$. L'axe d, en retard de $\frac{\pi}{2}$, se déplace du même angle par rapport à sa position précédente.

L'angle $\delta$ représente donc la variation de la position de la roue polaire entre la marche à vide et la marche en charge pour un observateur lié au champ tournant. La mise en évidence et la mesure de cet angle de décalage dû à la charge s'obtiennent facilement par stroboscope. En effet, en disposant en bout d'arbre un disque muni d'un repère et en l'éclairant par un stroboscope alimenté à la fréquence du réseau auquel le stator est connecté, on détermine la position du repère, qui apparait alors fixe, d'abord pour un fonctionnement à vide puis pour un cas de charge quelconque. La différence de position du repère fournit l'angle de charge mécanique tel que:

$$\delta_{mec}=\frac{\delta}{p}$$

Le diagramme vectoriel défini par la relation 1.120 est utilisé normalement pour prédéterminer le courant d'excitation en charge. Le cas de fonctionnement est défini par la tension aux bornes, le courant (ou la puissance apparente) et le facteur de puissance. Le déphasage $\Psi$ entre $\vec I_s$ et $\vec V_f$, c'est à dire la position de $\vec I_s$ par rapport au système d'axes d-q n'est donc pas, a priori, connu. De ce fait, les composantes $i_d$ et $i_q$ du courant ne sont pas directement déterminées.

Figure 1.28: Diagramme de tension d'une machine synchrone à pôles saillants.

Pour lever l'indétermination, on suppose le problème résolu et le diagramme vectoriel établi pour un cas de charge quelconque (figure 1.28). Les différents segments de droite inclus dans le diagramme représentent respectivement:

$$\overline{OA}\to V_s$$

$$\overline{AB}\to R_sI_s$$

$$\overline{BC}\to X_qi_q$$

$$\overline{CD}\to X_di_d$$

$$\overline{OD}\to V_f$$

Le phaseur $\vec V_f$ représentatif de la tension synchrone induite par le flux des inducteurs seul, est décalé de $\frac{\pi}{2}$ en avance par rapport à l'axe des inducteurs choisi comme axe direct (axe d). $\vec V_f$ est donc porté par l'axe transversal q. Le système d'axes d-q étant positionné, la projection de $\vec I_s$ sur ces axes détermine les composantes $i_d$ et $i_q$ d'où:

$$i_d=I_s\sin{\Psi}$$ (1.121)

$$i_q=I_s\cos{\Psi}$$ (1.122)

En élevant en B une perpendiculaire à $\overline{AB}$, on détermine les points E (intersection avec $\overline{OD}$) et F (intersection de $\overline{BE}$ avec la perpendiculaire à $\overline{OD}$ issue de D). Par construction on fait apparaître au sommet de B un angle égal à $\Psi$ de sorte que:

$\overline{BC}=X_qi_q=X_qI_s\cos{\Psi}$ d'où

$$\overline{BE}=X_qI_s$$

$\overline{CD}=X_di_d=X_dI_s\sin{\Psi}$ d'où

$$\overline{BF}=X_dI_s$$

Soient $V_s$, $I_s$ et $\varphi$ les caractéristiques de fonctionnement désirées. Les paramètres $R_s$, $X_d$, $X_q$ sont des constantes de la machine considérée.Le diagramme de tension pour un cas de charge quelconque s'établit donc selon le procédé suivant: du point B défini par $\vec V_s - R_s\vec I_s$ on porte deux phaseurs de valeurs respectives $jX_qI_s$ et $jX_dI_s$ qui déterminent les points E et F du diagramme. La direction de $\vec V_f$ est donnée par la droite $\overline{OE}$ et sa valeur par la projection du point F sur cette direction. La direction de l'axe q étant connue, on en déduit celle de l'axe d. On complète le diagramme en construisant le point C et en déterminant les composantes $i_d$ et $i_q$. L'angle entre $\vec V_s$ et $\vec V_f$ correspond à l'angle de charge $\delta$.

Le diagramme de tension ainsi établi est dit diagramme de Blondel ou des deux réactions.

Dans le cas des machines synchrones à pôles lisses, les réactances synchrones $X_d$ et $X_q$ sont pratiquement égales, de sorte que l'équation 1.120 prend la forme simplifiée:

$$\vec V_s=\vec V_f+R_s\vec I_s+jX_d\vec I_s$$ (1.123)

L'établissement du diagramme à partir des conditions définies par $I_s$, $V_s$ et $\varphi$ est immédiat. Ce diagramme porte le nom de diagramme de Potier ou diagramme de Behn Eschenburg.

Figure 1.29: Diagramme de tension d'une machine synchrone à pôles lisses.

La détermination de $V_f$ au moyen des diagrammes de Blondel et de Potier permet de déterminer le courant d'excitation en charge, à partir de la caractéristique à vide $V_f=f(i_f)$ qui, dans le cas d'une machine non saturée, est linéaire.

Dans les machines de moyennes et grandes puissances, la chute de tension ohmique est toujours négligeable vis-à-vis des chutes de tension inductives dans les réactances synchrones [17] de sorte que, si l'on néglige également les pertes fer, on a la puissance apparente (S) de la machine triphasée qui est:

$$S=P+jQ=3V_sI_s^*$$

Compte tenu du signe affecté à l'angle de charge, on tire:

$$V_s=u_d+ju_q=-V_s\sin{\delta}+jV_s\cos{\delta}$$ (1.124)

et

$$i_d=\frac{V_s\cos{\delta}-V_f}{X_d}$$ (1.125)

ainsi que

$$i_q=\frac{V_s\sin{\delta}}{X_q}$$ (1.126)

On a alors

$$S=3(u_d+ju_q)(i_d-ji_q)=3(u_di_d+u_qi_q+j(u_qi_d-u_di_q))$$ (1.127)