Expression de la puissance et du couple

L'avantage de la transformation de Park orthonormée est la conservation de la puissance instantannée soit:

$$p_{(t)}=u_ai_a+u_bi_b+u_ci_c+u_fi_f=u_qi_q+u_di_d+u_oi_o$$ (1.70)

En substituant, dans 1.70, à l'aide des relations 1.55, 1.56, 1.57, 1.58 et par 1.60, on obtient:

$$\begin{array}{c} p_{(t)}=(R_si_q^2+R_si_d^2+R_fi_f^2+R_si_o^... ...c{d\psi_f}{dt})\\ +[\omega_m(\psi_di_q-\psi_qi_d)] \end{array}$$ (1.71)

L'énergie électrique $W_{el}$ absorbée pendant un intervalle de temps dt s'exprime comme:

$$\frac{dW_{el}}{dt}=p_{(t)}$$

L'énergie électrique est donc composée de 3 termes facilement identifiables dans 1.71:

• l'énergie perdue par effet Joule dans les différents enroulements;
• la variation d'énergie magnétique emmagasinée dans le champ de couplage;
• l'énergie transformable en énergie mécanique.

On a donc l'énergie mécanique $W_{mec}$ qui vaut pour un intervalle de temps dt:

$$dW_{mec}=\omega_m(\psi_di_q-\psi_qi_d)dt=T_{e}d\theta_m$$ (1.72)

avec

$$d\theta_m=\frac{\omega_m}{p}dt$$

et $T_{e}$ représentant le couple électromagnétique.

On obtient alors le couple électromagnétique :

$$T_{e}=p(\psi_di_q-\psi_qi_d)$$ (1.73)

En substituant dans 1.73 les expressions des flux 1.60, nous obtenons:

$$T_{e}=p[(L_d-L_q)i_di_q+L_Fi_fi_q]=T_{rel}+T_{syn}$$ (1.74)

Le premier terme de couple est dû à l'anisotropie rotorique et représente le couple réluctant dû à la saillance des pôles (machine à pôles saillants):

$$T_{rel}=p[(L_d-L_q)i_di_q]$$ (1.75)

Le second terme correspond au couple synchrone créé par l'excitation:

$$T_{syn}=pL_Fi_fi_q=p\sqrt{\frac{3}{2}}L_fi_fi_q=p\sqrt{\frac{3}{2}}\phi_ai_q=K_ti_q$$ (1.76)

avec $\phi_a$ représentant le flux généré par l'aimant permanent.

L'équation mécanique instantanée classique est donnée par:

$$J\frac{d\Omega}{dt}+k_d\Omega+T_c=T_{e}$$ (1.77)

Où J représente l'inertie des parties tournantes, $k_d$ un coefficient de frottement visqueux et $T_l$ le couple résistant.

A l'aide des relations 1.61 et 1.62, on a:

$$\frac{d\psi_d}{dt}=L_d\frac{di_d}{dt}=L_dsi_d$$ (1.78)

et

$$\frac{d\psi_q}{dt}=L_q\frac{di_q}{dt}=L_qsi_q$$ (1.79)

Le moteur synchrone peut être complètement modélisé dans les axes d-q, à l'aide des relations précédentes [13] [10][60]. En effet, l'expression des tensions est:

$$u_d=R_si_d+L_dsi_d-\omega_mL_qi_q$$ (1.80)

$$u_q=R_si_q+L_qsi_q+\omega_mL_di_d+\sqrt{\frac{3}{2}}\phi_a\omega_m$$ (1.81)

Ces dernières sont complétées par l'équation du couple électromagnétique 1.74 et par l'équation mécanique 1.77 qui permettent de décrire complètement le comportement d'un moteur synchrone. Ce sont ces équations que nous avons implantées sous MATLAB sous forme de schéma bloc.