Découplage par retour d'état non linéaire

Soit un système non linéaire observable décrit par:

$$\frac{dX}{dt}=F_{(X)}X+P+Bu et y=CX$$

avec X vecteur d'état d'ordre n, $F_{(X)}$ relations non linéaires des états, P vecteur constant d'ordre n et B matrice d'entrée non singulière.

Le but est de trouver un retour d'état de la forme:

$$u=K_{(X)}X+Q+Lw$$

où K désigne la matrice de gain non linéaire du retour d'état, Q une matrice de compensation et w le nouveau vecteur d'entrée qui découple le système [30] [28]. L'équation dy système corrigé est:

$$\frac{dX}{dt}=[F_{(X)}+BK_{(X)}]X+P+BQ+BLw$$

et la transmittance du système:

$$y=(CBLw+P+BQ)(s{\mathbb{I}}-(F_{(X)}+BK_{(X)}))^{-1}$$

L'objectif est de déterminer $K_{(X)}$, Q et L telles que la matrice de transfert T entre y et w soit diagonale.

$$y=T_{(s)}w$$

La résolution de ce problème peut s'avérer complexe. Une approche simplifiée et plus restrictive consiste à rechercher:

$$\frac{dX}{dt}=w$$

soit:

$$F_{(X)}+BK_{(X)}=0, P+BQ=0 et BL={\mathbb{I}}$$

Il vient alors:

$$K_{(X)}=-B^{-1}F_{(X)}, Q=-B^{-1}P et L=B^{-1}$$

Le retour d'état obtenu est non linéaire. Une synthèse sur la régulation de vitesse est décrite au chapitre 5.