Modélisation du réducteur de vitesse

On adapte sur le moteur synchrone un dispositif réducteur qui permet d'adapter celui-ci aux exigences de l'application. En effet, les vitesses optimales de fonctionnement d'un moteur électrique sont généralement plus élevées que les vitesses recherchées pour l'application. Cela est particulièrement vrai dans le cas d'application à basse vitesse (<100 tr/min) et, notamment, pour des asservissements de position. Il existe des moteurs d'entrainement direct rendant inutiles l'utilisation d'un réducteur mais ces moteurs sont en général complexes, coûteux et ne permettent pas toujours de satisfaire certaines exigences de précision de positionnement. De plus, ce dispositif permet d'adapter le couple nécessaire à la charge.

La figure 3.1 illustre un exemple de réducteur mécanique qui reçoit l'arbre mécanique du moteur auquel il est associé. Il comprend un ensemble d'engrenages et un arbre réducteur doté d'un palier.

Figure 3.1: Structure d'un réducteur.
\includegraphics[width=9cm]{reduct.eps}

Les engrenages notés $R_x$ comportent un nombre de dents noté $N_x$, un couple $T_x$ et sont fixés sur des arbres qui possédent une inertie $J_x$, un frottement visqueux $b_x$ et une position angulaire $\theta_x$. D'après le schéma de la figure 3.1 et selon [1], il est possible d' écrire que,


\begin{displaymath}
\theta_2=\theta_1\frac{N_1}{N_2}
\end{displaymath} (3.1)


\begin{displaymath}
\theta_3=\theta_2\frac{N_3}{N_4}
\end{displaymath} (3.2)

Si l'on considére que l'on n'a pas de pertes sur les engrenages alors la puissance se transmet intégralement d'un arbre à l'autre d'où:


\begin{displaymath}
T_1\theta_1=T_2\theta_2
\end{displaymath} (3.3)

et
\begin{displaymath}
T_4\theta_3=T_3\theta_2
\end{displaymath} (3.4)

En y substituant les équations 3.1 et 3.2 on obtient:


\begin{displaymath}
T_2=T_1\frac{N_2}{N_1}
\end{displaymath} (3.5)

et
\begin{displaymath}
T_4=T_3\frac{N_4}{N_3}
\end{displaymath} (3.6)

Les équations mécaniques, associées à chaque arbre, s'écrivent:

\begin{displaymath}
J_1\frac{d^2(\theta_1)}{dt^2}+b_1\frac{d(\theta_1)}{dt}+T_1=T_m
\end{displaymath} (3.7)


\begin{displaymath}
J_2\frac{d^2(\theta_2)}{dt^2}+b_2\frac{d(\theta_2)}{dt}+T_3=T_2
\end{displaymath} (3.8)


\begin{displaymath}
J_3\frac{d^2(\theta_3)}{dt^2}+b_3\frac{d(\theta_3)}{dt}+T_c=T_4
\end{displaymath} (3.9)

avec $T_m$ et $T_c$ qui sont respectivement le couple moteur et le couple de charge.

On obtient, après substitution des relations 3.1, 3.2, 3.5 et 3.6, la relation suivante:


\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\left[J_1+\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2J_2...
...N_1}{N_2}\right)\left(\frac{N_3}{N_4}\right)T_c=T_m
\end{array}\end{displaymath} (3.10)

Si l'on considère que les rapports de transformations vérifient $\frac{N_1}{N_2}«1$ et $\frac{N_3}{N_4}«1$, alors la relation 3.10 peut se simplifier de la manière suivante:


\begin{displaymath}
J_1\frac{d^2(\theta_1)}{dt^2}+b_1\frac{d(\theta_1)}{dt}+nT_c=T_m
\end{displaymath} (3.11)

avec $n=\frac{N_1}{N_2}\frac{N_3}{N_4}$. On constate donc que l'on peut générer un couple plus important en modifiant le rapport de transformation n. Par contre, si l'on reprend les équations 3.1 et 3.2, on a donc:


\begin{displaymath}
\theta_3=n\theta_1
\end{displaymath} (3.12)

Cela réduit alors la vitesse en sortie du réducteur. Lorsque l'on dispose d'un moteur de vitesse nominale donnée, le rapport de réduction peut être choisi soit en considérant une vitesse d'application souhaitée que l'on rapporte à la vitesse nominale du moteur, soit en faisant intervenir la puissance utile souhaitée en sortie du réducteur que l'on rapporte à la puissance disponible en sortie du moteur, donc en entrée du réducteur. Si les avantages procurés par la mise en \oeuvre de réducteurs sont indéniables (compacité, meilleure utilisation des performances électromagnétiques des moteurs électriques, effet de multiplication du couple), ces réducteurs présentent cependant certains inconvénients qui motivent les recherches actuelles dans le domaine des entrainements directs: un rendement généralement médiocre (<0.7), des jeux pouvant mettre en cause les capacités de positionnement et des inerties rapportées à l'arbre de sortie pouvant altérer les performances dynamiques de l'ensemble électromécanique.

guillaume 2008-11-17