Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell définissent les propriétés macroscopiques locales associées aux grandeurs électriques et magnétiques vectorielles. Il s'agit du champ électrique $\overrightarrow{E}$, de l'excitation ou champ magnétique $\overrightarrow{H}$, du déplacement électrique $\overrightarrow{D}$, de la densité de courant $\overrightarrow{J}$ et de l'induction magnétique $\overrightarrow{B}$. Ces équations prennent la forme suivante dans un référentiel associé au milieu étudié :

$$rot\overrightarrow{H} = \overrightarrow{J}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}$$ (C.1)

$$rot\overrightarrow{E} = -\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}$$ (C.2)

$$div\overrightarrow{B} = 0$$ (C.3)

$$div\overrightarrow{D} = \rho_q$$ (C.4)

Elles sont complétées par des relations spécifiques aux matériaux:

$$B = \mu_0\mu_rH$$ (C.5)

$$D = \epsilon_0\epsilon_rE$$ (C.6)

$$E = \rho J$$ (C.7)

Si A est un vecteur défini selon trois axes x,y et z par

$$\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}A_1 A_2 A_3\end{array}\right)$$

et $\overrightarrow{\nabla}$ par

$$\overrightarrow{\nabla}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}... ...al}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)$$

alors, par définition, on a:

• le rotationnel du vecteur $\overrightarrow{A}$ qui est le produit vectoriel de $\overrightarrow{\nabla}$ par ce vecteur soit:

  
  

  $$rot\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\times \overrig... ...\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y} \end{array}\right)$$ (C.8)

  
  

• la divergence du vecteur $\overrightarrow{A}$ qui est le produit scalaire de $\overrightarrow{\nabla}$ par ce vecteur soit:

  
  

  $$div\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla} .\overrightarr... ...frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z}$$ (C.9)

  
  

Dans l'étude des phénomènes associés à la conversion électromécanique, les fréquences en jeu sont relativement faibles, ne dépassant guère quelques dizaines de KHz. Dans ces conditions, la dérivée du vecteur déplacement de l'équation C.1 peut être négligée vis-à-vis de la densité de courant J. On obtient alors :

$$rot\overrightarrow{H} = \overrightarrow{J}$$ (C.10)

De plus, les équations C.4 et C.6 ne présente plus d'intérêt. On parlera de régime quasi statique des équations de Maxwell. Ces relations vectorielles utilisées dans l'étude de certains phénomènes particuliers (pertes par courants de Foucault, effet pelliculaire) se prêtent mal à l'étude du comportement des machines en régime transitoire ou permanent. Bien que d'intéressantes solutions à ce problème, faisant appel au vecteur de Poynting, aient été développées [37], on préfère utiliser les formes intégrales des lois de Maxwell et recourir au modèle de Kirchhoff caractérisé par la notion de circuit et les équations associées.